离散程度的度量练习题 - 掌握极差、四分位距与百分位距
以下是4道综合练习题，涵盖极差、四分位距、百分位距等核心内容。
慢缺肢蜥长度分组表：
| 慢缺肢蜥长度（mm） | 125-139 | 140-154 | 155-169 | 170-184 | 185-199 | 200-214 | 215-229 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 频率 | 4 | 4 | 2 | 7 | 20 | 24 | 10 |
a. 测量的慢缺肢蜥总数
b. 四分位距估计
c. 平均长度估计
d. 长度超过均值+IQR的数量
a. 测量的慢缺肢蜥总数：\( 4+4+2+7+20+24+10 = 71 \) 只
b. 四分位距估计：
累计频率：4, 8, 10, 17, 37, 61, 71
• \( Q_1 \) 位置：\(\frac{71}{4}=17.75\)，落在170-184组，插值得 \( Q_1 \approx 170.14 \) mm
• \( Q_3 \) 位置：\(\frac{3×71}{4}=53.25\)，落在200-214组，插值得 \( Q_3 \approx 209.69 \) mm
• 四分位距：\( 209.69 - 170.14 = 39.55 \) mm
c. 平均长度估计：组中值132, 147, 162, 177, 192, 207, 222
均值：\(\frac{132×4+147×4+162×2+177×7+192×20+207×24+222×10}{71}≈193.48\) mm
d. 长度超过均值+IQR的数量：均值+IQR≈233.03 mm，无数据超过，数量为0
工厂工人月收入分组表：
| 月收入\( x \)（$） | \( 900 \leq x < 1000 \) | \( 1000 \leq x < 1100 \) | \( 1100 \leq x < 1200 \) | \( 1200 \leq x < 1300 \) |
|---|---|---|---|---|
| 频率 | 3 | 24 | 28 | 15 |
a. 34%到66%百分位距
b. 落在该范围的数据量
总频数：\( 3+24+28+15 = 70 \)
累计频率：3, 27, 55, 70
a. 34%到66%百分位距：
• \( P_{34} \) 位置：\(\frac{34×70}{100}=23.8\)，落在1000-1100组，插值得 \( P_{34}≈1082.08 \)
• \( P_{66} \) 位置：\(\frac{66×70}{100}=46.2\)，落在1100-1200组，插值得 \( P_{66}≈1168.21 \)
• 百分位距：\( 1168.21 - 1082.08 = 86.13 \)
b. 落在该范围的数据量：\( 0.32×70≈22.4 \)，约22个
火车旅程时间分组表：
| 旅程时间（分钟） | 15-16 | 17-18 | 19-20 | 21-22 |
|---|---|---|---|---|
| 频率 | 5 | 10 | 35 | 10 |
a. 5%到95%百分位距
b. 落在该范围的数据量
总频数：\( 5+10+35+10 = 60 \)
累计频率：5, 15, 50, 60
a. 5%到95%百分位距：
• \( P_5 \) 位置：\(\frac{5×60}{100}=3\)，落在15-16组，插值得 \( P_5≈15.7 \)
• \( P_{95} \) 位置：\(\frac{95×60}{100}=57\)，落在21-22组，插值得 \( P_{95}≈21.9 \)
• 百分位距：\( 21.9 - 15.7 = 6.2 \) 分钟
b. 落在该范围的数据量：\( 0.9×60 = 54 \) 个
圣地亚哥气温数据：14.3, 12.7, 12.4, 10.9, 9.4, 13.2, 12.1, 10.3, 10.3, 10.6
a. 中位数和四分位距
b. 五月与六月对比
c. 七月落在10%-90%百分位距的天数
排序后：9.4, 10.3, 10.3, 10.6, 10.9, 12.1, 12.4, 12.7, 13.2, 14.3
a. 中位数和四分位距：
• 中位数：\(\frac{10.9+12.1}{2} = 11.5\)℃
• \( Q_1 \)：\(\frac{10.3+10.6}{2} = 10.45\)℃，取10.3℃
• \( Q_3 \)：\(\frac{12.7+13.2}{2} = 12.95\)℃，取12.7℃
• 四分位距：\( 12.7 - 10.3 = 2.4 \)℃
b. 五月与六月对比：六月中位数更高（气温中心更高），四分位距更小（气温更集中）
c. 七月落在10%-90%百分位距的天数：\( 0.8×31≈25 \) 天
题目：慢缺肢蜥长度分组表
解答过程：
a. 测量的慢缺肢蜥总数：\( 4+4+2+7+20+24+10 = 71 \) 只
b. 四分位距估计：累计频率4, 8, 10, 17, 37, 61, 71
\( Q_1 \approx 170.14 \) mm，\( Q_3 \approx 209.69 \) mm，四分位距≈\( 39.55 \) mm
c. 平均长度估计：组中值计算得均值≈\( 193.48 \) mm
d. 长度超过均值+IQR的数量：均值+IQR≈233.03 mm，无数据超过，数量为0
答案：a. 71只；b. 39.55mm；c. 193.48mm；d. 0只
题目：工厂工人月收入分组表
解答过程：
总频数：\( 3+24+28+15 = 70 \)
累计频率：3, 27, 55, 70
a. 34%到66%百分位距：\( P_{34}≈1082.08 \)，\( P_{66}≈1168.21 \)，百分位距≈\( 86.13 \)
b. 落在该范围的数据量：\( 0.32×70≈22.4 \)，约22个
答案：a. 86.13；b. 约22个
题目：火车旅程时间分组表
解答过程：
总频数：\( 5+10+35+10 = 60 \)
累计频率：5, 15, 50, 60
a. 5%到95%百分位距：\( P_5≈15.7 \)，\( P_{95}≈21.9 \)，百分位距= \( 6.2 \) 分钟
b. 落在该范围的数据量：\( 0.9×60 = 54 \) 个
答案：a. 6.2分钟；b. 54个
题目：圣地亚哥气温数据
解答过程：
排序后：9.4, 10.3, 10.3, 10.6, 10.9, 12.1, 12.4, 12.7, 13.2, 14.3
a. 中位数和四分位距：中位数= \( 11.5 \)℃，\( Q_1=10.3 \)℃，\( Q_3=12.7 \)℃，四分位距= \( 2.4 \)℃
b. 五月与六月对比：六月中位数更高（气温中心更高），四分位距更小（气温更集中）
c. 七月落在10%-90%百分位距的天数：\( 0.8×31≈25 \) 天
答案：a. 中位数11.5℃，四分位距2.4℃；b. 六月气温更高更集中；c. 约25天
通过这些练习题，我们系统复习了离散程度度量章节的核心知识点，包括极差、四分位距、百分位距。重点掌握了：
核心技能：极差计算、四分位距计算、百分位距计算、插值法应用
这些练习题涵盖了离散程度度量的各个重要方面，通过实际计算可以加深对数据分散性的理解，为后续箱线图和统计推断学习打下坚实基础。